Espen R Jakobsens prosjekt og masteroppgaver

Espen R. Jakobsen prosjekt- og masteroppgaver.

OBS: Jeg er på jakt etter potensielle PhD-studenter til nye forskningsprosjekter.

Mine faglige interesser omfatter differensiallikninger, matematisk analyse, numeriske metoder og analyse, stokastiske prosesser, simulering, kontroll- og spillteori, matematisk finans og matematisk modellering. Et fokusområde er ikke-lineære partielle differensiallikninger og ikke-lokale likninger. Dette er store og aktive fagfelt med mange viktige og velkjente anvedelser. Sjekk hjemmesiden min for mer info.

Jeg tilbyr oppgaver innen følgende områder:

  1. Ikke-lokale partielle differensiallikninger:   Moderne modeller,  utfordrende numerikk,  ny matematikk.

  2. Stokastisk analyse:  Prosesser,  differensiallikninger,  PDEer

  3. Matematisk finans: Bedre enn Black-Scholes  /   Simulering  /   Maskinlæring.

  4. Mean field games: Et helt nytt modelleringsparadigme.

  5. Diverse oppgaver om partielle differensiallikninger.
Mer detaljer finnes under og jeg kan også tilby andre oppgaver. Oppgavene kan utformes med ulik vanskelighetsgrad og variende grad av teori og/eller numerikk/simulering. Typisk dreier det seg om å sette seg inn teknikker, teori, metoder og/eller modeller som anvendes i dag, oppsummere, videreutvikle/generalisere disse, implementere og teste (for numeriske metoder/simulering), og/eller anvende dem på nye problem. Avhengig av tid og ønsker, er det også mulig å jobbe med aktuelle forskningsproblemer. Mange av oppgavene kan danne et godt utganspunkt for et senere PhD studium.

Hvis det er noe du har lyst til å spørre om eller diskutere nærmere, kom gjerne innom kontoret mitt i 11. etasje (1148) - eller send meg en email.

1. Ikke-lokale parsielle differensiallikninger:   Moderne modeller,  utfordrende numerikk,  ny matematikk.

Dette er et av mine hovedforskningsfelt. Ikke-lokale eller fraksjonelle likninger er likninger som inneholder integralledd eller fraksjonelle deriverte. Fraksjonelle deriverte er "deriverte" av fraksjonell orden, definert via Fouriertransformen, som røtter av differensial operatorer, som singulære integraler, eller via sannsynlighetsteori/stokastiske prosesser. Her er lenker til fraksjonell Laplace og andre fraksjonelle deriverte. Disse likningene som også kalles integro-partielle diffensiallikninger, anvendelser innen mange ulike områder (natur- og ingeniørvitenskap, finans, kontroll- og sannsynlighetsteori, geometri, ...) og utgjør et meget populært forskningsfelt. Anvendelsene inkludere alt fra bruddmekanikk og sub/superdiffusjon i fysikken til via geostrofiske approksimasjoner i meteorologien til prising av opsjoner og derivater i finans med Levy modeller, se f.eks. The restaurant at the end of the random walk. Recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics, denne wikisiden og avsnitt 3. Matematisk finans under.

Eksempler på likninger/modeller

  1. Generalisering av modeller for flyt i porøse medier, fraksjonelle porøs medielikninger. Nytt fagfelt.

  2. Fraksjonelle konserveringlover og konveksjons-diffusjonslikninger.
    Ulike fysiske (konveksjon/diffusjon) anvendelser, spennende matematiske fenomener.

  3. Ikke-lokale modeller i i kontroll- og spillteori, økonomi og finans, geometri.
    Såkalte fullt ikke-lineære likninger som Bellman- og Isaacslikningene.

Teoretiske problemer av interesse:

  • Vise eksistens og entydighet og egenskaper som f.eks. stabilitet, regularitet, kontinuerlig avhengighet av data, approksimasjonsmetoder, perturbasjon og asymptotiske grenser.
  • Klassiske metoder og løsningsbegreper som klassiske og svake løsninger og mer avanserte metoder og begreper som entropi- og viskositetsløsninger. Funksjonalanalyse, funksjonsrom, kompakthet, a priori estimater, sterk og svak konvergens, regularitet, Fourier analyse og/eller sannsynlighetsteori.

Numeriske metoder av interesse:

  • Differense-, endelig element, diskontinuerlig Galerkin og spesielt ulike typer spektralmetoder.
  • Vise egenskaper ved metodene og evt. konvergens og feilestimater.
  • OBS: Likningene er spennende og utfordrende numerisk fordi:
    • de har ikke-lokale singulære (integral-)ledd,
    • de kan være ikke-lineære,
    • de kan være degenerete og ha irregulære løsninger (løsninger som har sjokk eller knekkpunkt),
    • tilsynelatede meget gode numeriske metoder kan gi helt gale løsninger!

Gode støttekurs for dette temaet vil være:

  • TMA4305 Partielle differensialligninger (teori/numerikk)
  • TMA4220 Num Part Diff Elem (numerikk)
  • TMA4225 Analysens Grunnlag (teori)
  • (TMA4230 Funksjonalanalyse) (teori)
  • (TMA4170 Fourieranalyse) (teori)
  • (Aktuelle doktorkurs:
    • MA8502 Numerisk løsning av partielle differensialligninger (høst, like årstall)
    • MA8103 Hyperbolske konserveringlover (vår, like årstall)
    • MA8105 Ikkelineære parsielle differensiallikninger og Sobolevrom (vår, odde årstall)
    • MA8109 Stokastiske prosesser og differensiallikninger (høst, odde årstall)

2. Stokastisk analyse:   Prosesser,  differensiallikninger,  PDEer.

I forbindelse med at jeg aktivt holder på å bygge opp en forskningsportefølge på stokastisk analyse (bl.a. med en PhD student som fullførte i 2016) og at faget MA8109 Stokastiske prosesser og differensiallikninger blir undervist høsten 2017, tilbyr jeg oppgaver i analyse/numerikk av stokastiske prosesser, differential likninger og PDEer.

Oppgaver

  1. Levy prosesser (teori og/eller numerikk).
    (Poisson prosess, konstruksjon, generator, semigruppe, overgangsannsynlighetstettet, stopping/refleksjon, Markov, Martingal, Monte Carlo metoder, feilestimater)

  2. Stokastiske differensiallikninger og stokastiske PDEer (teori og/eller numerikk/simulering).
    (Brownsk bebegelse, velstilthet, stopping/refleksjon, a priori estimater, kontinuerlig avhengighet av data; Monte Carlo, Path Integration og Maskin læringsmetoder; feilestimater; Black-Scholes, Fokker-Planck)

  3. Sammenheng mellom stokastiske prosesser og inititial og randverdiproblemer for partielle differensiallikninger.
    (ulike randbetingelser og likninger - stopping/refleksjon av prosesser, generator, overgangsannsynlighetstettet, Markov, Monte Carlo metoder, feilestimater, asymptotiske resultater)
Mer om oppgavene:
  • Levy prosesser er Markov prosesser som generaliserer Brownsk bevegelse/random walk, populær i finans og fysikk. Aktivt forskningsområde.
  • Stokastiske differensiallikninger er ordinære differensiallikninger med støy. Modeller med usikkerhet, populære i finans og ingeniørfag.
    Aktivt forskningsområde, særlig med tanke på numerikk/simulering.
  • Sammenhengen mellom stokastiske prosesser og partielle differensiallikninger er et klassisk og prestisjefylt problem,
    men gir stadig opphav til ny spennende forskning. Les f.eks. om Einsteins utledning av varmelikningen fra Brownsk bevegelse her.
  • Gi historisk oversikt, studere eksempler og helt nye forskningsresultater.
  • Teoretisk: Jobbe med en eller flere analytiske teknikker - stokastisk analyse (MA8109!), PDE (TMA4305), Fourier analyse (TMA4170), Funksjonal analyse (TMA4230) og andre.
  • Numerikk/simulering: Studere numeriske approksimasjoner, ulike typer Monte Carlo, Path Integration, eller Machin Learning metoder [Noe analyse er nødvendig]

Eksempellitteratur: Gode støttekurs for dette temaet vil være:
  • MA8109 Stokastiske prosesser og differensiallikninger.
  • TMA4220 Num Part Diff Elem (numerikk)
  • TMA4300 Computer Intensive Statistical Methods (numerikk/simulering)
  • TMA4305 Partielle differensialligninger (teori/numerikk)
  • TMA4225 Analysens Grunnlag (teori)
  • (TMA4230 Funksjonalanalyse) (teori)
  • (TMA4170 Fourieranalyse) (teori)
  • ((MA8105 Ikke-lineære partielle differensiallikninger og Sobolevrom (vår, odde år)))

3. Matematisk finans:   Bedre enn Black-Scholes  /  Simulering /   Maskinlæring

Klassisk Black-Scholes teori for prising av opsjoner har først til en eksplosjon i handel med finansielle instrumenter rundt om i verden. Det handles i dag med et utall antall ulike typer opsjoner, dvs. det er mange ulike regler for hvilken utbetaling kjøper skal få når opsjonen utløper. I Norge er Europeiske og Amerikanske opsjoner på en aksje eller en børsindex vanligst. Andre typer opsjoner er binære, barriære, bermuda, asiatiske, Look-back, etc.

Klassisk teori undervurderer grovt sjangsen for store børsfall eller krakk. I mange situasjoner trenger man dermer mer realistiske og moderne modeller, enten stokastisk volatilitetsmodeller med Gaussisk støy eller ikke-Gaussiske modeller basert på Levy prosesser. I det siste tilfellet er "Black-Scholes" likningen en fraksjonell diffusjonslikning.

Simulering, numerikk, og maskinlæring for å løse disse modellene er av stor betyning og her fins det mange muligheter - se under.

Oppgaver

  1. Opsjonsprising i Black-Scholes modeller (teori).

  2. Numerikk/simulering/maskinlæring for opsjonsprisingsmodeller (numerikk/statistikk/teori).

  3. Mer realistisk opsjonsprising - fraksjonell diffusjon eller stokastisk volatilitet (teori).

  4. Numerikk/simulering/maskinlæring for fraksjonelle opsjonsprisingslikninger eller stokastisk volatilitets modeller (numerikk/statistikk/teori).
Mer om oppgavene:
  • Oppgave 1.

    Forutsetter MA8109 Stokastiske prosesser. Mulig innhold: Europeiske/Amerikanske/Asiatiske opsjoner, stokastisk analyse, Ito,
    Brownsk bevegelse, stopping, finansielle argument, stokastisk volatilitet, diffusionslikning.

    Evt. look-back opsjoner og viskositetsløsninger.

  • Oppgave 2.

    (A) Numerisk løsning med endelig element, endelig differanse, eller spektral metoder.
    (For FEM se f.eks. Y. Achdou, O. Pironneau Computational Methods for Option Pricing SIAM 2005).

    (B) Numerisk løsning med stokastiske differensiallikninger og Monte Carlo metoder/stokastisk simulering
    (se f.eks. P. Klöden and E. Platen. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Spinger-Verlag (1992)).
    Forutsetter MA8109 Stokastiske prosesser. Mulig å gjøre ting i forskningsfront her...

    (C) Path Integration - numerisk løsning av sannsynlighetstettheten til den stokastiske difflikningen.
    Se artikler av Chen-Jakobsen-Naess ("strong methods") og Carlini-Silva ("weak methods") under del 2 over. Mulig å gjøre ting i forskningsfront her også...

    (D) Maskinlæring og kunstig intelligens for prising av opsjoner.
    (Dette er veldig nytt, deep learning er brukt av enkelte forskere ...)

  • Oppgave 3 og 4 - som oppgave 1 og 2 - se også lenkene over.

Gode støttekurs for disse temaene:

  • TMA4305 Partielle differensialligninger (teori/numerikk)
  • TMA4220 Num Part Diff Elem (numerikk)
  • TMA4300 Computer Intensive Statistical Methods (numerikk/simulering)
  • TMA4268 Statistical learning (maskinlæring/numerikk/simulering)
  • Emnemoduler i finans/K-emner i finans
  • Emnemodul i stokastisk kontrollteori
  • (MA8109 Stokastiske prosesser og differensiallikninger) (høst, odde årstall) (teori/numerikk)
  • (TMA4225 Analysens Grunnlag) (teori)
  • ((TMA4230 Funksjonalanalyse)) (teori)

4. Mean field games: Et helt nytt modelleringsparadigme.

Mean Field Games er et nytt modelleringsparadigme som egner seg bra til å modellere konflikt og sammspill i store grupper av relativt like rasjonelle beslutningstakere ("spillere"). Du kan f.eks. tenke på forbrukere i et marked eller en folkemasse som evakueres ut av en bygning. Potensialet for anvendelser er veldig stort, og særlig innenfor økonomi er det stor interesse for disse modellene. Det har vært en kraftig økende aktivitet inne området de siste årene, men fremdeles er det et ungt og umodent felt det det gjenstår store uløste problemer mhp. matematisk og numerisk metoder og teori.

Oppgave: Sette seg inn og forklare hva MFG er for noe, matematisk analyse eller numerikk/numerisk analyse. Utvikle nye resultater. Her er det store muligheter til å gjøre nye ting og muligheter til å ta en PhD. Ikke-lokale mean field games er en ny retning jeg forsker på sammen med en PhD student og en PostDoc.

Noe litteratur:

Et beslektet område som er mye enklere men også mye mer studert og forstått er Optimal kontroll av ordinære eller stokastiske differensiallikninger.
Oppgave: Sette opp og analysere problemet, verifikasjon og dynamisk programering, matematisk analyse og/eller numeriske beregninger.

Ta kontakt for mer informsjon.

5. Diverse oppgaver om partielle differensiallikninger

    1. Viskositetsløsninger. Teorien for viskositetsløsninger innfører et helt nytt og overraskende løsningsbegrep, ulikt tidligere løsningsbegreper som klassiske, svake, og distribusjonsløsninger. Teorien kan anvendes på nye typer likninger, fult ikke-lineære likninger og veldig degenererte likninger, og representerer enten eneste metode for å vise mange viktige resultater eller en mye enklere metode enn alternativene.
    • Teoretiske oppgaver: Sette seg inn i teorien, anvende den til å vise egenskaper ved utvalgte likninger. Prøve å utvikle nye resultater for svakt degenerete likninger (sammenlikningsprinsipper etc.)
    • Numeriske oppgaver: Løse slike likninger numerisk. Studere egenskapene til løsningsmetodene, utvikle nye metoder.